Vet hvordan sivil- og miljøingeniører forstår mekanikken i tynne strukturer og hvordan de bruker geometri for å studere deformasjonsprosessen. Undersøk hvordan sivil- og miljøingeniører bruker geometri for å studere prosesser med deformasjon i prosjekter av forskjellige skalaer. Massachusetts Institute of Technology (En Britannica Publishing Partner) Se alle videoene for denne artikkelen
som skapte ukedagene
Geometri , grenen av matematikk som er opptatt av formen på individuelle objekter, romlige forhold mellom forskjellige objekter og egenskapene til det omkringliggende rommet. Det er en av de eldste grenene av matematikk, som har oppstått som svar på slike praktiske problemer som de som ble funnet i landmåling, og navnet er avledet av greske ord som betyr jordmåling. Til slutt ble det innsett at geometri ikke trenger å være begrenset til studiet av flate overflater (plangeometri) og stive tredimensjonale objekter (solid geometri), men at selv de mest abstrakte tankene og bildene kan være representert og utviklet i geometriske termer.
Denne artikkelen begynner med en kort veiledning til de viktigste grenene av geometri, og fortsetter deretter til en omfattende historisk behandling. For informasjon om spesifikke grener av geometri, se Euklidisk geometri, analytisk geometri, prosjektiv geometri, differensialgeometri, ikke-euklidisk geometri og topologi.
I flere eldgamle kulturer der utviklet det en form for geometri som passer til forholdet mellom lengder, områder og volumer av fysiske objekter. Denne geometrien ble kodifisert i Euclid’s Elementer ca 300bcepå grunnlag av 10 aksiomer, eller postulater, hvorfra flere hundre teoremer ble bevist med deduktiv logikk. De Elementer epitomiserte den aksiomatisk-deduktive metoden i mange århundrer.
Analytisk geometri ble initiert av den franske matematikeren René Descartes (1596–1650), som introduserte rektangulære koordinater for å lokalisere punkter og for å gjøre det mulig å representere linjer og kurver med algebraiske ligninger. Algebraisk geometri er en moderne utvidelse av motivet til flerdimensjonale og ikke-euklidiske rom.
Projektiv geometri stammer fra den franske matematikeren Girard Desargues (1591–1661) for å håndtere de egenskapene til geometriske figurer som ikke endres ved å projisere deres bilde eller skygge på en annen overflate.
Den tyske matematikeren Carl Friedrich Gauss (1777–1855), i forbindelse med praktiske problemer med landmåling og geodesi, startet feltet med differensialgeometri. Ved hjelp av differensialregning karakteriserte han iboende egenskaper av kurver og overflater. For eksempel viste han at den indre krumningen til en sylinder er den samme som et plan, noe som kan sees ved å kutte en sylinder langs aksen og flate ut, men ikke den samme som en sfære , som ikke kan flates uten forvrengning.
Begynnelsen på 1800-tallet erstattet forskjellige matematikere alternativer til Euclids parallelle postulat, som i sin moderne form leser, gitt en linje og et punkt ikke på linjen, er det mulig å trekke nøyaktig en linje gjennom det gitte punktet parallelt med linjen. De håpet å vise at alternativene var logisk umulige. I stedet oppdaget de at det eksisterer konsistente ikke-euklidiske geometrier.
Topologi, den yngste og mest sofistikerte grenen av geometri, fokuserer på egenskapene til geometriske objekter som forblir uendret ved kontinuerlig deformasjon - krymper, strekker seg og brettes, men ikke rives. Den kontinuerlige utviklingen av topologi stammer fra 1911, da den nederlandske matematikeren L.E.J. Brouwer (1881–1966) introduserte metoder som generelt er anvendelige for emnet.
De tidligste kjente entydige eksemplene på skriftlige opptegnelser - fra Egypt og Mesopotamia omkring 3100bce- demonstrer at gamle folk allerede hadde begynt å lage matematiske regler og teknikker som var nyttige for å kartlegge landområder, bygge bygninger og måle lagringsbeholdere. Begynner omtrent på 600-talletbce, samlet grekerne og utvidet denne praktiske kunnskapen og ut fra det generaliserte det abstrakte emnet nå kjent som geometri, fra kombinasjonen av de greske ordene geo (Jorden) og metron (mål) for måling av jorden.
matematikere i den gresk-romerske verden Dette kartet spenner over et årtusen av fremtredende gresk-romerske matematikere, fra Thales av Milet (ca. 600bce) til Hypatia of Alexandria (ca. 400dette). Encyclopædia Britannica, Inc.
I tillegg til å beskrive noen av prestasjonene til de gamle grekerne, særlig Euclids logiske utvikling av geometri i Elementer , denne artikkelen undersøker noen anvendelser av geometri til astronomi, kartografi og maleri fra klassisk Hellas gjennom middelalder Islam og renessansens Europa. Den avsluttes med en kort diskusjon om utvidelser av ikke-euklidiske og flerdimensjonale geometrier i moderne tid.
Opprinnelsen til geometri ligger i bekymringene i hverdagen. Den tradisjonelle beretningen, bevart i Herodot Historie (5. århundrebce), krediterer egypterne med å finne oppmåling for å gjenopprette eiendomsverdier etter den årlige flommen i Nilen. Tilsvarende iver etter å kjenne volumene av faste figurer avledet fra behovet for å evaluere hyllest, lagre olje og korn, og bygge demninger og pyramider. Selv de tre abstruse eldgamle geometriske problemer - å doble a terning , skjære en vinkel og firkantet en sirkel, som alle vil bli diskutert senere - sannsynligvis oppstått fra praktiske forhold, fra religiøst ritual, tidtaking og konstruksjon , henholdsvis i pre-greske samfunn i Middelhavet. Og hovedfaget for senere gresk geometri, teorien om kjeglesnitt, skyldte dens generelle betydning, og kanskje også dens opprinnelse, til dens anvendelse på optikk og astronomi.
Mens mange eldgamle individer, kjent og ukjent, bidro til emnet, likte ingen effekten av Euklid og hans Elementer av geometri, en bok som nå er 2300 år gammel og gjenstand for så mye smertefullt og omtenksomt studium som Bibelen. Mye mindre er imidlertid kjent om Euklides enn om Moses. Faktisk er det eneste som er kjent med en viss grad av selvtillit at Euklid underviste på biblioteket i Alexandria under Ptolemaios I (323–285 / 283)bce). Euclid skrev ikke bare om geometri, men også om astronomi og optikk og kanskje også om mekanikk og musikk. Bare den Elementer , som ble omfattende kopiert og oversatt, har overlevd intakt.
Euclid’s Elementer var så fullstendig og tydelig skrevet at den bokstavelig talt utslettet arbeidet til hans forgjengere. Det som er kjent om gresk geometri før ham, kommer først og fremst fra biter sitert av Platon og Aristoteles og av senere matematikere og kommentatorer. Blant andre dyrebar gjenstander de har bevart er noen resultater og den generelle tilnærmingen til Pythagoras ( c. 580– c. 500bce) og hans etterfølgere. Pythagoreere overbeviste seg selv om at alle ting er, eller skylder deres forhold til, tall. Læren ga matematikk høyeste betydning i etterforskningen og forståelsen av verden. Platon utviklet et lignende syn, og filosofer påvirket av Pythagoras eller Platon skrev ofte ekstatisk om geometri som nøkkelen til tolkningen av univers . Dermed fikk gammel geometri en tilknytning til sublim for å utfylle dens jordiske opprinnelse og sitt rykte som eksemplet på presis resonnement.
Gamle byggherrer og landmålere trengte å kunne konstruere rette vinkler på feltet etter behov. Metoden som ble brukt av egypterne tjente dem navnet taudragere i Hellas, tilsynelatende fordi de brukte et tau for å legge ut deres konstruksjonsretningslinjer. En måte de kunne ha brukt et tau på for å konstruere rette trekanter, var å merke et løkketau med knuter slik at når det ble holdt i knutene og trukket stramt, måtte tauet danne en riktig trekant. Den enkleste måten å utføre trikset på er å ta et tau som er 12 enheter langt, lage en knute 3 enheter fra den ene enden og en annen 5 enheter fra den andre enden, og deretter knytte endene sammen for å danne en løkke, som vist i animasjon. De egyptiske skriftlærde har imidlertid ikke etterlatt oss instruksjoner om disse prosedyrene, langt mindre noe antydning om at de visste hvordan de skulle generaliseres for å oppnå Pythagoras teorem: firkanten på linjen motsatt rett vinkel tilsvarer summen av rutene på de to andre sider. På samme måte inneholder de vediske skrifter i det gamle India seksjoner kalt sulvasutra s, eller regler for tauet, for nøyaktig plassering av offeralter. De nødvendige rette vinklene ble laget av tau merket for å gi triadene (3, 4, 5) og (5, 12, 13).
I babyloniske leirtabletter ( c. 1700–1500bce) moderne historikere har oppdaget problemer hvis løsninger indikerer at den pythagoreiske teoremet og noen spesielle triader var kjent mer enn tusen år før euklidene. En rett trekant laget tilfeldig, er imidlertid svært lite sannsynlig at alle sidene måles av den samme enheten - det vil si hver side et heltallsmultipel av en eller annen vanlig måleenhet. Dette faktum, som kom som et sjokk da de ble oppdaget av pythagoreerne, ga opphav til konseptet og teorien om uforanderlighet.
Etter eldgamle tradisjoner, Thales of Miletus, som levde før Pythagoras på 600-talletbce, oppfant en måte å måle utilgjengelige høyder på, for eksempel de egyptiske pyramidene. Selv om ingen av hans skrifter overlever, kan Thales godt ha kjent om en babylonisk observasjon at for lignende trekanter (trekanter med samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse), økes (eller reduseres) lengden på hver tilsvarende side med samme multiplum. En bestemmelse av høyden på et tårn ved bruk av lignende trekanter er vist i figuren. De gamle kineserne ankom målinger av utilgjengelige høyder og avstander på en annen rute, ved hjelp av komplementære rektangler, som det ble sett i nestefigur, som kan vises å gi resultater som tilsvarer resultatene av den greske metoden som involverer trekanter.
En sammenligning av en kinesisk og en gresk geometrisk teorem Figuren illustrerer ekvivalensen til den kinesiske komplementære rektanglesetningen og den greske lignende trekantsetningen. Encyclopædia Britannica, Inc.
En babylonsk kileskriftablett som ble skrevet for rundt 3500 år siden, behandler problemer om dammer, brønner, vannklokker og utgravninger. Den har også en øvelse på sirkulære innhegninger med en implisitt verdi på π = 3. Entreprenøren for kong Salomons svømmebasseng, som laget en dam 10 alen bred og 30 alen rundt (1. Kong 7:23), brukte samme verdi. Hebreerne burde imidlertid ha tatt sin π fra egypterne før de krysset rød sjø , for Rhind-papyrusen ( c. 2000bce; vår viktigste kilde for gammel egyptisk matematikk) antyder π = 3.1605.
Kunnskap om området i en sirkel var av praktisk verdi for tjenestemennene som fulgte faraoens hyllest, så vel som for byggere av altere og svømmebassenger. Ahmes, skriveren som kopierte og kommentert Rhind-papyrusen ( c. 1650bce), har mye å si om sylindriske korn og pyramider, hele og avkortede. Han kunne beregne volumene deres, og som det fremgår av at han tok egypteren seked , den horisontale avstanden assosiert med en vertikal stigning på en alen, som den definerende mengden for pyramidens skråning, visste han noe om lignende trekanter.
Copyright © Alle Rettigheter Reservert | asayamind.com